L'essenziale del linguaggio Java per realizzare l'insieme di Mandelbrot e di Julia.

Capitolo 4:
Come ingrandire le zone più interessanti dell'insieme di mandelbrot

Ora vedremo la cosa più interessante e stupefacente dell'insieme di mandelbrot,

vale a dire la possibilità di ottenere un numero di ingrandimento di miliardi di volte,

molte volte superiore a

qualunque microscopio presente o futuro, perchè gli oggetti matematici non hanno limiti fisici della la materia che oltre un certo livello non può essere indagata senza cambiarne le caratterische fisiche,

sotto il livello di elettroni, quark , gluoni etc, o stringhe se esistono davvero, non si può scendere,

la matematica invece si affida ai numeri e noi

sappiamo che il loro numero è infinito, perciò il nostro potere d'ingrandimento è limitato solo dalla potenza del nostro elaboratore.

Scopriremo che anche a questi livelli d'ingrandimento
vedremo ancora un insieme di mandelbrot del tutto simile all'originale,

inoltre ci imbatteremo in forme veramente spettacolari che ci ripagheranno del nostro sforzo per giungere fino qui.

Partiamo dalla prima immagine a sinistra con 1 ingrandimento.

La seconda, la terza, la quarta e la quinta, sono ingrandite ogni volta 5 volte, perciò 5⁵ = 3.125 ingrandimenti.

Per ragioni di spazio ho saltato vari passaggi e qui siamo già ad un ingrandimento di 390.625 volte e come vedete qui sopra appare un altro insieme di mandelbrot.

Saltiamo ora una serie di passaggi per arrivare ad un ingrandimento di

3.0517578125E10 volte

Come puoi notare i numeri sotto le immagini sono scritti in notazione scientifica con la "E" di esponente, significa che se vedi ad esempio "2.63E9" vuol dire che dopo il punto ci sono 9 cifre, in questo caso 2.63+7 zeri = 2 miliardi 630 milioni,nota che in Italia a differenza della notazione

anglosassone usiamo la virgola non il punto, ossia avremmo 2,63E9

Con quest'ultimo ingrandimento a sinistra arriviamo a più di 9,5 miliardi d'ingrandimenti

Questa immagine mostra come sia possibile cambiare i colori e che anche a bassi ingrandimenti ci siano repliche dell'insime di mandelbrot originale.

Questo sotto è il listato di mandelbrot che ci permette di zoomare, è tutto commentato e con le spiegazioni che avete appena letto e quelle che seguono a fondo pagina capirete la bellezza della formula che stà dietro a queste belle immagini.

/*
	I commenti verranno aggiunti solo alle parti del linguaggio java che non sono state viste nei capitoli precedenti 						 
 */
								
               			 //  Mandel_Zoom2

import java.awt.*;
import javax.swing.*;   
import static java.lang.Math.*;
//Con l'ultima versione, Java ha aggiunto nuove funzionalità che migliorano il lavoro del programmatore.

import java.awt.event.*;
import javax.swing.event.*;
//Queste due "import" servono ad  ascoltare gli eventi del mouse.

public class Mandel_Zoom2 extends JApplet
implements MouseListener, MouseMotionListener  {
//Implementa the “click ed il trascinamento” del mouse.

public double zoom=1.0, dist, xbegin= 0.5, ybegin = 0.0, xreal, yimag, distx, disty, zr, zi, nx, ny, zxy, m=5 ; 
//  m è l'incremento della variabile   zoom.

public int maxLoop =50, loop, w, h, p, b, mov2, mov3, redcol, greencol, bluecol;
// redcol, greencol, bluecol sono le variabili dei colori.
    
     public void init() {
         addMouseListener(this);
        addMouseMotionListener(this);
           }
//Inizializza l'ascolto dei tasti del mouse.

public void paint(Graphics g) {
        w = getSize().width;  h = getSize().height;  
//Ottiene la larghezza e l'altezza dell' appelet.

dist= (2.5/(w))/zoom; 
//Determina la distanza tra due  punti adiacenti del piano cartesiano quando vine ingrandito.

distx=0; 
//La istanza iniziale è = a zero.

maxLoop = maxLoop + (int)(m*log(zoom));
/*
Quando si ingrandisce, la distanza tra due punti adiacenti del piano diventa più piccola, la stessa cosa succede per i numeri che rappresentano questa distanza, per questo dobbiamo incrementare il numero massimo dei  cicli o iterazioni, perche ci permette di determinare con più sicurezza il valore assoluto del numero in esame (Del valore assoluto ne abbiamo parlato nel capitolo precedente, il valore deve essere inferiore  a due per appartenere all'insieme di mandelbrot) 
Usiamo il logaritmo di zoom, perché in questo modo, quando gli ingrandimeni hanno raggiunto un livello di miliardi di volte , possiamo regolare il numero di iterazioni del ciclo in modo efficiente; (il "log = " è la potenza che un altro numero di una base data deve essere elevata per produrre quel numero, per esempio il logaritmo del 1000 in base 10 è 3, perché 10 <sup>3 </sup> = 1.000; oppure  che il logaritmo del numero 1.000.000.000 è uguale a 9 = perché 10<sup>  9</sup> = un miliardo, 1 con 9 zeri) in questo modo il nostro ciclo aumenta il numero di iterazioni in un modo più pertinente al nostro obiettivo, ossia aumentare il numero massimo dei cicli, ma  di una quantità  non ecessiva.

*/
        b=0;

while ( b <= w){

distx =(distx + dist); 
            disty =0;
            p= 0;
            while (p <= h){
                disty =(disty + dist);  
              
   xreal = (xbegin  - distx )+(1.25/(zoom)) ;  
   yimag = (ybegin - disty )+(1.25/(zoom)) ;
 //A ciascun ciclo sarà aggiunta una distanza di. "(1.25 / (zoom)".
              
                zr = 0;
                zi = 0;
                nx=0;
                ny=0;
                loop= 0;
                zxy=0;

do {

loop= loop+1;
                    nx= (zr*zr - zi*zi)-xreal;
                    ny= (2*zr*zi)-yimag;
                    zr =  nx;
                    zi =  ny;
		 // zxy = (zr*zr + zi*zi); 
                    zxy = (zr*zr - zi*zi);
/*
Nel capitolo precedente abbiamo visto che se zyx = (zr*zr  +  zi*zi); (il quadrato della parte  reale, più il qudrato della parte immaginaria) non supera il valore di 4, allora  appartiene all'insieme di Mandelbrot, qui ho fatto un piccolo cambiamento ho messo ZXY = (zr*zr  -  zi*zi) ; Ho cambiato una addizione in una sottrazione e questo ha portato un nuovo modo di colorare il disegno, così ho lasciato entrambe le opzioni, provare!
Basta rimuovere le due barre di commento.
*/		
                 
                    if (zxy >=4 )  { 
                        loop = loop + maxLoop;              
                    }  
                } 
                while (loop <= maxLoop );
                        redcol= (10*loop)%255; greencol = (10*loop+26)%255; bluecol= (10*loop-8)%255;
/*
I colori rosso, verde e blu, vengono scelti in base al numero di cicli utilizzati dall'algoritmo per  raggiungere il confine dell'insieme di  mandelbrot.
255% in linguaggio Java significa "modulo 255" e in matematica "modulo" rappresenta il resto di una divisione, per esempio (10% 3 = 1) perché (10/3 = 3 con 1 resto).
Il modulo è 255 perché in Java i colori rosso, verde un blu hanno 255 tonalità ognuno. quindi se il numero dei nostri cicli sono più di 255 li dividiamo per 255 e assegnamo il resto alla tonalità di un determinato colore.
*/

if (zxy < 4){ redcol=0; greencol =0; bluecol = 0;} 
/*
Il programma controlla il valore della variabile maxLoop, "se" il numero di cicli effettuati ha superato questo valore e il valore di "zxy" è ancora inferiore a 4, allora i colori  rgb  saranno tutti messi uguale a zero e il pixel sarà colorata in nero, e sappiamo che i  pixel neri appartengono all'insieme di mandelbrot.
*/
                 g.setColor(new Color(redcol, greencol,bluecol));
//assegna il colore.

g.drawLine(b,p, b,p);

p =(p+1); 
            }
            b =(b+1); 
            
        }  
               g.setColor(new Color(255,255,255));
/* 
Quando il tono dei tre colori RGB hanno tutti il valore massimo "255" otteniamo il colore bianco.
*/

g.drawRect(w/2-w/10,w/2-w/10, w/5,w/5);  
                  g.drawOval(w/2-5,w/2-5, 10,10);  
//Disegna un rettangolo e una circonferenza di colore bianco nel centro del disegno.

showStatus( " zoom =    " +zoom);
//Scrive il numero degli ingrandimenti nello status dell' applet. 
    }

public void mouseClicked(MouseEvent evt) {  
        Object source = evt.getSource();  
//Ottiene in numero del tasto del mouse.

if(evt.getButton() == MouseEvent.BUTTON3){
            zoom =zoom/5;
/*
Se il numero del pulsante del mouse è 3 (che è quello destro)
dividiamo il valore corrente di zoom per 5. 
Perciò con il tasto destro rimpiccioliamo il disegno, 
*/

maxLoop= maxLoop /2;
// E dividiamo il valore corrente di maxLoop per 2.

if (maxLoop < 80)maxLoop=80;
/* 
E se il valore maxloop è meno di 80, maxLoop sarà messo a 80, altrimenti può diventare troppo piccolo.
*/

}
        if(evt.getButton() == MouseEvent.BUTTON2){
            m = m*2;
 /*
Se il numero del pulsante del mouse cliccato è il 2 (che è la rotellina centrale del mouse)  il valore della variabile "m" -( ne abbiamo parlato prima, è la variabile che regola il numero degli zoom) viene moltiplicato per 2.
Quando ci rendiamo conto che il designo è incompleto. Clicchiamo sulla rotellina  del mouse per incrementare  il numero della variabile maxLoop.
*/

}

if(evt.getButton() == MouseEvent.BUTTON1){
            zoom =zoom *5;  
            m = m+1;
            int startx = evt.getX();
            int starty = evt.getY();

/*
Se il numero del pulsante del mouse è l'uno (che è quello di sinistra) moltiplichiamo il valore corrente di zoom per	5. Quindi il valore della variabile "m" è aumentata di 1 per aumentare  il numero di maxLoop.
Perciò con il tasto sinistro ingrandiamo il disegno. 
*/
            if (startx >= (w/2)) {
                int startx2= startx -(w/2);
                xbegin =xbegin - ((startx2)* (dist)); 
/*
Quando si clicca sull' appelet, se il punto selezionato è nella metà destra, allora l'immagine sarà ridisegnata a sinistra, in modo d' avere sempre il punto scelto sempre nel centro dell'applet.
*/

} else{ if (startx < (w/2)) {
                    int  startx2 = (w/2) - startx;
                    xbegin =xbegin + (startx2* (dist));
/*
Quando si clicca sull' appelet, se il punto selezionato è nella metà sinistraa, allora l'immagine sarà ridisegnata a destra, in modo d'avere sempre il punto scelto sempre nel centro dell'applet.
*/

}

if (starty >= (w/2)) {
                int starty2= starty -(w/2);
                ybegin =ybegin -((starty2)* (dist)); 
/*
Quando si clicca sull' appelet, se il punto selezionato è nella metà inferiore a, allora l'immagine sarà ridisegnata sulla parte superiore, in modo d' avere sempre il punto scelto sempre nel centro dell'applet.
*/

} else{ if (starty <(w/2)) {
                    int  starty2 = (w/2) - starty;
                    ybegin =ybegin + (starty2* (dist));
/*
Infine quando si clicca sull' appelet, se il punto selezionato è nella metà superiore a, allora l'immagine sarà ridisegnata sulla parte inferiore, in modo d' avere sempre il punto scelto sempre nel centro dell'applet.
*/

}

repaint(); 
//A questo punto l'immagine  viene ridisegnata sullo schermo.

}

public void mousePressed(MouseEvent e) { }

public void mouseReleased(MouseEvent e){ }
 
   public void mouseEntered(MouseEvent e) {}

public void mouseExited(MouseEvent e)  {}

public void mouseMoved(MouseEvent e) {}

public void mouseDragged(MouseEvent e) {}
/*
Queste sono tutte le opzioni associate all'uso del mouse, anche se non utilizzati, essi devono essere inclusi.
*/

}

Potete selezionare il testo, copiarlo e incollarlo all'interno di un applet chiamto Mandel_Zoom2, compilatelo ed eseguitelo, dovreste vedere delle immagine simili a queste sopra

Ricordatevi i punti colorati in nero appartengono all'insieme di Mandelbrot

E le zone più interessanti, quelle con le immagini più spettacolari si trovano al confine del bordo nero, dove iniziano le zone colorate, se guardate la prima immagine in alto vedrete che il punto iniziale scelto per gli ingrandimenti si trova proprio subito oltre il confine della zona colorata di nero.

Vediamo cosa succede quando clicchiamo sull'applet; praticamente il punto dove abbiamo cliccato viene spostato al centro dell'applet e contemporaneamente il lato del piano complesso in esame viene ridotto di 5 volte, poichè inizialmente era di "2,5 x 2,5" al primo click del mouse diventa "0,5 x 0,5" ma poichè questa superfice viene spalmata sempre su "500 x 550" pixel avremo ingrandito di 5 volte il lato del piano complesso preso in esame e lo stesso succederà ogni volta che clicchiamo col tasto sinistro del mouse.
Nota che se il lato aumenta di 5 volte la superfice che è lato per lato, aumenta di 25 volte, il numero degli ingrandimenti che appare sotto ogni disegno è riferito al lato, perciò se riferito alla superfice va moltiplicato per 5.

In breve, quando clicchiamo con il mouse in un punto sullo schermo, se il punto selezionato è oltre la metà destra dell'applet, il nuovo punto di partenza viene arretrato nella metà sinistra, se il punto scelto si trova nella metà sinistra dell'applet, il nuovo punto di partenza viene spostato a destra dello schermo, nello stesso modo se il punto selezionato è sopra il centro dello schermo, viene spostato verso il basso, mentre se viene scelto al di sotto del centro viene spostato sopra. A questo punto si divide 2.5 per il numero di pixel della larghezza "w" dell'applet, e per il valore di zoom. Così il divario tra i due pixel consecutivi corrisponde a dist = (2,5 / w) / zoom;

Altri esempi d'ingrandimenti dell'insieme di mandelbrot, per ottenere questi colori ho usato la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso come input per i valori r.g.b. (rosso verde blu)

Se riesci a vedere gli applet, qui c'è la pagina con l'applet di questo capitolo.

Questo è il capitolo num. 4

Capitolo 1	Capitolo 2	Capitolo 3	Capitolo 4	Capitolo 5	Capitolo 6
Capitolo 7	Capitolo 8	Capitolo 9	Capitolo 10	Capitolo 11	Capitolo 12

L'essenziale del linguaggio Java per realizzare l'insieme di Mandelbrot e di Julia.

Capitolo 4:
Come ingrandire le zone più interessanti dell'insieme di mandelbrot

Ora vedremo la cosa più interessante e stupefacente dell'insieme di mandelbrot,

vale a dire la possibilità di ottenere un numero di ingrandimento di miliardi di volte,

molte volte superiore a

Saltiamo ora una serie di passaggi per arrivare ad un ingrandimento di

3.0517578125E10 volte

Come puoi notare i numeri sotto le immagini sono scritti in notazione scientifica con la "E" di esponente, significa che se vedi ad esempio "2.63E9" vuol dire che dopo il punto ci sono 9 cifre, in questo caso 2.63+7 zeri = 2 miliardi 630 milioni,nota che in Italia a differenza della notazione

anglosassone usiamo la virgola non il punto, ossia avremmo 2,63E9

Con quest'ultimo ingrandimento a sinistra arriviamo a più di 9,5 miliardi d'ingrandimenti

Questa immagine mostra come sia possibile cambiare i colori e che anche a bassi ingrandimenti ci siano repliche dell'insime di mandelbrot originale.

Questo sotto è il listato di mandelbrot che ci permette di zoomare, è tutto commentato e con le spiegazioni che avete appena letto e quelle che seguono a fondo pagina capirete la bellezza della formula che stà dietro a queste belle immagini.

Potete selezionare il testo, copiarlo e incollarlo all'interno di un applet chiamto Mandel_Zoom2, compilatelo ed eseguitelo, dovreste vedere delle immagine simili a queste sopra

Altri esempi d'ingrandimenti dell'insieme di mandelbrot, per ottenere questi colori ho usato la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso come input per i valori r.g.b. (rosso verde blu)

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L'essenziale del linguaggio Java per realizzare l'insieme di Mandelbrot e di Julia. Capitolo 4: Come ingrandire le zone più interessanti dell'insieme di mandelbrot

Ora vedremo la cosa più interessante e stupefacente dell'insieme di mandelbrot, vale a dire la possibilità di ottenere un numero di ingrandimento di miliardi di volte, molte volte superiore a

Saltiamo ora una serie di passaggi per arrivare ad un ingrandimento di 3.0517578125E10 volte

Come puoi notare i numeri sotto le immagini sono scritti in notazione scientifica con la "E" di esponente, significa che se vedi ad esempio "2.63E9" vuol dire che dopo il punto ci sono 9 cifre, in questo caso 2.63+7 zeri = 2 miliardi 630 milioni,nota che in Italia a differenza della notazione

anglosassone usiamo la virgola non il punto, ossia avremmo 2,63E9 Con quest'ultimo ingrandimento a sinistra arriviamo a più di 9,5 miliardi d'ingrandimenti

Questa immagine mostra come sia possibile cambiare i colori e che anche a bassi ingrandimenti ci siano repliche dell'insime di mandelbrot originale.

Questo sotto è il listato di mandelbrot che ci permette di zoomare, è tutto commentato e con le spiegazioni che avete appena letto e quelle che seguono a fondo pagina capirete la bellezza della formula che stà dietro a queste belle immagini.

Potete selezionare il testo, copiarlo e incollarlo all'interno di un applet chiamto Mandel_Zoom2, compilatelo ed eseguitelo, dovreste vedere delle immagine simili a queste sopra

Altri esempi d'ingrandimenti dell'insieme di mandelbrot, per ottenere questi colori ho usato la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso come input per i valori r.g.b. (rosso verde blu)

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Capitolo 4:
Come ingrandire le zone più interessanti dell'insieme di mandelbrot

Ora vedremo la cosa più interessante e stupefacente dell'insieme di mandelbrot,

vale a dire la possibilità di ottenere un numero di ingrandimento di miliardi di volte,

molte volte superiore a

Saltiamo ora una serie di passaggi per arrivare ad un ingrandimento di

3.0517578125E10 volte

anglosassone usiamo la virgola non il punto, ossia avremmo 2,63E9

Con quest'ultimo ingrandimento a sinistra arriviamo a più di 9,5 miliardi d'ingrandimenti